Построение точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью сводится к построению второй проекции точки на эпюре, так как одна проекция точки всегда лежит на следе проецирующей плоскости, потому что все, что находится в проецирующей плоскости, проецируется на один из следов плоскости. На рис. 224, а показано построение точки пересечения прямой EF с фронтально-проецирующей плоскостью треугольника ABC (перпендикулярной плоскости V) На плоскость V треугольник ABC проецируется в отрезок а"с" прямой линии, и точка к" будет также лежать на этой прямой и находиться в точке пересечения e"f с а"с". Горизонтальную проекцию строят с помощью линии проекционной связи. Видимость прямой относительно плоскости треугольника АВС определяют по взаимному расположению проекций треугольника ABC и прямой EF на плоскости V. Направление взгляда на рис. 224, а указано стрелкой. Тот участок прямой, фронтальная проекция которого находится выше проекции треугольника, будет видимым. Левее точки к" проекция прямой находится над проекцией треугольника, следовательно, на плоскости Н этот участок видимый.
На рис. 224, б прямая EF пересекает горизонтальную плоскость Р. Фронтальная проекция к" точки К - точки пересечения прямой EF с плоскостью Р - будет находиться в точке пересечения проекции е"f "со следом плоскости P v , так как горизонтальная плоскость является фронтально-проецирующей плоскостью. Горизонтальную проекцию k точки К находят с помощью линии проекционной связи.
Построение линии пересечения двух плоскостей сводится к нахождению двух точек, общих для этих двух плоскостей. Для построения линии пересечения этого достаточно, так как линия пересечения - прямая, а прямая задается двумя точками. При пересечении проецирующей плоскости с плоскостью общего положения одна из проекций линии пересечения совпадает со следом плоскости, находящимся в той плоскости проекций, к которой перпендикулярна проецирующая плоскость. На рис. 225, а фронтальная проекция т"п" линии пересечения MN совпадает со следом P v фронтально-проецирующей плоскости Р, а на рис. 225, б горизонтальная проекция kl совпадает со следом горизонтально-проецирующей плоскости R. Другие проекции линии пересечения строятся с помощью линий проекционной связи.
Построение точки пересечения прямой с плоскостью общего положения (рис. 226, а) выполняют с помощью вспомогательной проецирующей плоскости R, которую проводят через данную прямую EF. Строят линию пересечения 12 вспомогательной плоскости R . с заданной плоскостью треугольника ABC, получают в плоскости R две прямые: EF - заданная прямая и 12 - построенная линия пересечения, которые пересекаются в точке K .
Нахождение проекций точки К показано на рис. 226, б. Построения выполняют в следующей последовательности.
Через прямую EF проводят вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость R. Ее след Rн совпадает с горизонтальной проекцией ef прямой EF.
Строят фронтальную проекцию 1׳2" линии пересечения 12 плоскости R с заданной плоскостью треугольника ABC с помощью линий проекционной связи, так как горизонтальная проекция линии пересечения известна. Она совпадает с горизонтальным следом R H плоскости R.
Определяют фронтальную проекцию к" искомой точки К, которая находится в пересечении фронтальной проекции данной прямой с проекцией 1"2" линии пересечения. Горизонтальная проекция точки строится с помощью линии проекционной связи.
Видимость прямой относительно плоскости треугольника ABC определяется способом конкурирующих точек. Для определения видимости прямой на фронтальной плоскости проекций (рис. 226, б) сравним координаты Y точек 3 и 4, фронтальные проекции которых совпадают. Координата Y точки 3, лежащей на прямой ВС, меньше координаты Y точки 4, лежащей на прямой EF. Следовательно, точка 4 находится ближе к наблюдателю (направление взгляда указано стрелкой) и проекция прямой изображается на плоскости V видимой. Прямая проходит перед треугольником. Левее точки К׳ прямая закрыта плоскостью треугольника ABC. Видимость на горизонтальной плоскости проекций показывают, сравнив координаты Z точек 1 и 5. Так как Z 1 > Z 5 , точка 1 видимая. Следовательно, правее точки 1 (до точки К) прямая EF невидимая.
Для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения применяют вспомогательные секущие плоскости. Это показано на рис. 227, а. Одна плоскость задана треугольником ABC, другая - параллельными прямыми EF и MN. Заданные плоскости (рис. 227, а) пересекают третьей вспомогательной плоскостью. Для простоты построений в качестве вспомогательных плоскостей берут горизонтальные или фронтальные плоскости. В данном случае вспомогательная плоскость R является горизонтальной плоскостью. Она пересекает заданные плоскости по прямым линиям 12 и 34, которые в пересечении дают точку К , принадлежащую всем трем плоскостям, а следовательно, и двум заданным, т. е. лежащую на линии пересечения заданных плоскостей. Вторую точку находят с помощью второй вспомогательной плоскости Q . Найденные две точки К и L определяют линию пересечения двух плоскостей.
На рис. 227, б вспомогательная плоскость R задана фронтальным следом. Фронтальные проекции линий пересечения 1"2" и 3"4" плоскости R с заданными плоскостями совпадают с фронтальным следом R v плоскости R, так как плоскость R перпендикулярна плоскости V, и все, что в ней находится (в том числе и линии пересечения) проецируется на ее фронтальный след R v . Горизонтальные проекции этих линий построены с помощью линий проекционной связи, проведенных от фронтальных проекций точек 1", 2", 3", 4" до пересечения с горизонтальными проекциями соответствующих прямых в точках 1, 2, 3, 4. Построенные горизонтальные проекции линий пересечения продлевают до пересечения друг с другом в точке k, которая является горизонтальной проекцией точки K , принадлежащей линии пересечения двух плоскостей. Фронтальная проекция этой точки находится на следе R v .
По заданным координатам точек А, В, С, D, E, F (Таблица 2) построить горизонтальную и фронтальную проекции треугольников ∆АBC и ∆DEF, найти линию их пересечения и определить видимость элементов треугольников .
2.2. Пример выполнения задания № 2
Второе задание представляет комплекс задач по темам:
1. Ортогональное проецирование, эпюр Монжа, точка, прямая, плоскость : по известным координатам шести точек А, В, С, D, E, F построить горизонтальную и фронтальную проекции 2-х плоскостей, заданных ∆АBC и ∆DEF ;
2. Плоскости общего и частного положения, пересечение прямой и плоскости, пересечение плоскостей, конкурирующие точки : построить линию пересечения заданных плоскостей и определить видимость их элементов.
Построить горизонтальные и фронтальные проекции заданных плоскостей ∆АBC и ∆DEF (Рисунок 2.1).
Для построения искомой линии пересечения заданных плоскостей необходимо:
1. Выбрать одну из сторон треугольника и построить точку пересечения этой стороны с плоскостью другого треугольника: на Рисунке 2.1 построена точка М пересечения прямой EF c плоскостью ∆АBC ; для этого прямую EF заключают во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость δ;
2. Построить фронтальную проекцию 1 2 2 2 линии пересечения плоскости δ с плоскостью ∆АBC ;
3. Найти фронтальную проекцию М 2 искомой точки М на пересечении фронтальную проекцию 1 2 2 2 с фронтальной проекцией E 2 F 2 прямой EF ;
4. Найти горизонтальную проекцию М 1 точки М с помощью линии проекционной связи;
5. Аналогично построить вторую точку N , принадлежащую искомой линии пересечения заданных плоскостей: заключить во фронтально-проецирующую плоскость β прямую ВС ; найти линию пересечения 34 плоскости с плоскостью ∆DEF ; на пересечении линии 34 и прямой ВС найти точку N ;
6. Определить с помощью конкурирующих точек, для каждой плоскости отдельно, видимые участки треугольников.
Рисунок 2.1 – Построение линии пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками
Рисунок 2.2 – Пример оформления задания 2
Видеопример выполнения задания №2
2.3. Варианты задания 2
Таблица 2– Значения координат точек
| Вариант | Координаты (x, y, z) вершин треугольников | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| А | В | С | D | E | F | |
| 1 | 20; 65; 30 | 40; 15; 65 | 80; 30; 35 | 15; 35; 70 | 70; 75; 80 | 35; 0; 0 |
| 2 | 75; 75; 5 | 60; 20; 60 | 20; 10; 40 | 30; 55; 50 | 90; 50; 35 | 60; 5; 10 |
| 3 | 0; 30; 75 | 30; 65; 15 | 80; 25; 15 | 45; 65; 75 | 95; 40; 0 | 10; 0; 10 |
| 4 | 90; 5; 70 | 65; 60; 15 | 15; 15; 20 | 25; 45; 70 | 95; 60; 35 | 65; 10; 0 |
| 5 | 30; 0; 10 | 70; 15; 15 | 15; 55; 16 | 70; 55; 60 | 5; 30; 60 | 20; 0; 0 |
| 6 | 20; 25; 0 | 60; 5; 80 | 90; 75; 40 | 0; 60; 60 | 75; 80; 70 | 90; 10; 0 |
| 7 | 0; 60; 20 | 20; 10; 60 | 85; 10; 20 | 50; 70; 65 | 75; 35; 0 | 10; 0; 5 |
| 8 | 10; 20; 15 | 55; 70; 5 | 80; 20; 45 | 20; 60; 55 | 100; 35; 20 | 60; 10; 5 |
| 9 | 0; 50; 10 | 60; 70; 70 | 80; 10; 10 | 20; 10; 70 | 90; 50; 60 | 60; 85; 0 |
| 10 | 85; 70; 10 | 25; 20; 25 | 90; 10; 60 | 15; 70; 65 | 105; 10; 45 | 70; 0; 0 |
| 11 | 25; 5; 25 | 60; 60; 5 | 95; 20; 50 | 36; 45; 55 | 105; 45; 60 | 70; 0; 0 |
| 12 | 95; 30; 65 | 15; 15; 10 | 70; 80; 5 | 35; 70; 70 | 115; 80; 55 | 85; 20; 0 |
| 13 | 20; 5; 60 | 50; 60; 5 | 90; 15; 30 | 60; 60; 60 | 100; 5; 10 | 25; 10; 0 |
| 14 | 10; 5; 70 | 80; 20; 25 | 40; 65; 10 | 70; 70; 70 | 0; 35; 60 | 30; 5; 0 |
| 15 | 20; 45; 55 | 60; 70; 10 | 90; 10; 60 | 20; 0; 10 | 95; 20; 10 | 75; 60; 75 |
| 16 | 5; 10; 60 | 40; 65; 10 | 70; 5; 40 | 70; 50; 75 | 0; 70; 45 | 15; 0; 5 |
| 17 | 10; 45; 5 | 90; 5; 10 | 50; 70; 70 | 15; 5; 50 | 95; 15; 65 | 60; 70; 0 |
| 18 | 65; 20; 70 | 0; 20; 15 | 50; 70; 5 | 15; 60; 55 | 90; 60; 40 | 60; 5; 5 |
| 19 | 20; 20; 70 | 50; 50; 10 | 70; 10; 30 | 80; 60; 70 | 5; 40; 60 | 25; 0; 10 |
| 20 | 85; 10; 45 | 70; 50; 0 | 20; 20; 10 | 55; 60; 60 | 0; 0; 60 | 75; 0; 0 |
| 21 | 0; 70; 60 | 30; 10; 80 | 70; 15; 20 | 60; 50; 70 | 0; 0; 50 | 15; 70; 5 |
| 22 | 0; 70; 25 | 45; 10; 70 | 90; 30; 20 | 65; 60; 70 | 90; 10; 15 | 15; 0; 15 |
| 23 | 10; 20; 40 | 50; 60; 10 | 75; 10; 40 | 75; 60; 75 | 5; 70; 55 | 35; 0; 0 |
| 24 | 10; 10; 10 | 90; 80; 20 | 65;10;60 | 15; 70; 65 | 100; 70; 40 | 80; 10; 0 |
| 25 | 60; 65; 10 | 0; 10; 25 | 85; 5; 60 | 20; 65; 60 | 105; 35; 35 | 55; 0; 0 |
| 26 | 10; 70; 20 | 50; 10; 60 | 90; 25; 10 | 70; 65; 45 | 5; 35; 55 | 25; 0; 50 |
| 27 | 10; 5; 70 | 40; 70; 10 | 90; 5; 40 | 100; 55; 25 | 25; 65; 80 | 50; 0; 0 |
| 28 | 0; 50; 5 | 25; 0; 60 | 85; 10; 15 | 50; 50; 50 | 90; 0; 55 | 20; 0; 0 |
| 29 | 10; 70; 10 | 40; 10; 50 | 80; 20; 20 | 80; 55; 55 | 10; 50; 70 | 20; 0; 0 |
| 30 | 75; 70; 20 | 10; 35; 10 | 60; 20; 60 | 20; 70; 70 | 100; 60; 50 | 75; 5; 0 |
Прямая линия пересечения двух плоскостей определяется двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям, или одной точкой, принадлежащей двум плоскостям, и известным направлением линии. В обоих случаях задача заключается в нахождении точки, общей для двух плоскостей.
Общий прием построения линии пересечения двух плоскостей заключается в следующем. Вводят вспомогательную плоскость, строят линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными и в пересечении построенных линий находят общую точку двух плоскостей. Для нахождения второй общей точки построение повторяют с помощью еще одной вспомогательной плоскости.
На рис. 4.5 показано наглядное изображение линии пересечения К,К 2 двух плоскостей аир.
Для наглядного изображения построения первой общей точки линии пересечения плоскостей аир (рис. 4.6) введена вспомогательная
плоскость у. C плоскостью а она пересекается по линии 1–2, с плоскостью β – по линии 3–4. В пересечении линий 1–2 и 3– 4 определена первая общая точка K 1 двух плоскостей аир – первая точка линии их пересечения.
Аналогично строят вторую точку линии пересечения.
Частный случай построения линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая. В этом случае построение линии пересечения упрощается тем, что одна ее проекция совпадает с проекцией проецирующей плоскости на ту плоскость проекций, к которой она перпендикулярна.
В качестве примера на рис. 4.7 показано построение проекций Μ"Ν", Μ"Ν" линии пересечения MN фронтально проецирующей плоскости а с плоскостью треугольника АВС.
На фронтальной проекции в пересечении проекций А"В" и А "С" со следом а" находим фронтальные проекции M"wN" двух общих точек заданных плоскостей. По ним построены горизонтальные проекции M" и N" на горизонтальных проекциях А "В" и A "C сторон треугольника. Через точки M" и А" проводим горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей. При взгляде по стрелке 5 по фронтальной проекции очевидно, что часть треугольника левее линии пересечения MN(M"N") находится над плоскостью а, т. с. видима, остальная часть – под плоскостью а, т. е. невидима (участок M"B"C"N" показан штриховой линией).
Другой пример построения линии пересечения двух треугольных пластин ABC и DEF, одна из которых (DEF) задана как горизонтально проецирующая плоскость, приведен на рис. 4.8. На горизонтальной проекции в пересечении горизонтальных проекций А " В" и B"C сто-
рон AABC с проекцией D"E"F" второго треугольника находим горизонтальные проекции M" и N" точек их пересечения. По ним на фронтальных проекциях сторон А "В "и В "С" строим фронтальные проекции М" тл N " точек линии пересечения MN. На фронтальной проекции отмечаем видимость частей треугольников, руководствуясь следующим: при взгляде по стрелке 5 на горизонтальной проекции очевидно, что сторона AC находится перед плоскостью треугольника DEF.
Следовательно, сторона AC и ограничиваемая ею часть треугольника ABCro линии пересечения MN видимы (т. е. видима фронтальная проекция четырехугольника A "C"N"M").
На рис. 4.9 приведено построение проекций M"N", M"Ν" линии пересечения двух плоскостей, одна из которых задана проекциями А "В", В "С", А"В", В" C двух пересекающихся прямых, другая – проекциями – D" Е", F"G", D"E", F"G" двух параллельных прямых.
В качестве вспомогательных плоскостей взяты две горизонтальные плоскости, заданные следами у" и δ".
Плоскость δ пересекает первую заданную плоскость по прямой 1–2, вторую – по прямой 3–4. По фронтальным проекциям 1",2" и 3 ", 4" находим с помощью линий связи горизонтальные проекции 1", 2" и 3", 4" на горизонтальных проекциях/* "В", В" С, D"E", F"G"
прямых. Через них проводим горизонтальные проекции 1 "2" и 3"4" линий пересечения. Отмечаем точку М" – горизонтальную проекцию общей точки М трех плоскостей – двух заданных и вспомогательной 8. По ней определяем фронтальную проекцию М" на фронтальном следе 8" вспомогательной плоскости.
Вспомогательные плоскости у и 8 параллельны. Линии их пересечения с заданными плоскостями попарно параллельны. Поэтому горизонтальные проекции линий пересечения плоскости у с заданными плоскостями проведены через проекцию В" параллельно проекции 1 "2" и через проекцию 5" параллельно проекции 3 "4 В их пересечении найдена горизонтальная проекция N" второй общей точки трех плоскостей, т. е. линии пересечения двух заданных плоскостей. По ней на фронтальном следе у" вспомогательной плоскости построена фронтальная проекция N". Через построенные проекции М", N" и M",N" проводим фронтальную и горизонтальную проекции искомой линии пересечения.
Задача на пересечение плоскостей в силу своей важности носит у ряда авторов наименование «позиционная задача № 2».
Из стереометрии известно, что линией пересечения двух плоскостей служит прямая. В предыдущих предварительных задачах, где речь шла о частных случаях пересечения плоскостей, мы исходили из этого определения.
Как известно, чтобы построить ту или иную прямую, в простейшем случае требуется отыскать две точки, принадлежащие этой прямой. В случае задания плоскости следами в качестве этих двух точек выступают точки пересечения одноименных следов пересекающихся плоскостей.
Примеры для самостоятельной работы
Упражнение 5.1
Построить линии пересечения плоскостей, заданных следами (рис. 72):
- а) горизонтально проецирующей I и фронтально проецирующей А;
- б) горизонтально проецирующей Z и плоскости общего положения Q;
- в) двух плоскостей общего положения I и 0.
Рис. 72
На рис. 73 приведены ответы к этому упражнению.
Для случаев задания плоскостей локальными плоскими фигурами уместно использование по крайней мере двух различных путей решения.
Рис. 73
Первый путь решения - использование трехступенного алгоритма нахождения точки встречи прямой общего положения с плоскостью общего положения. Для нахождения линии пересечения двух треугольников один из треугольников оставляют без изменения, а второй мысленно расчленяют на отдельные отрезки, представляя их в качестве прямых общего положения. Сначала находят точку пересечения одной из прямых общего положения с плоскостью треугольника. Затем находят еще одну недостающую точку, принадлежащую искомой линии. Это делается аналогичным путем, повторяя всю описанную последовательность действий.
Упражнение 5.2
По заданным координатам вершин двух треугольников ЛВС и DEK построить эпюр последних и найти линию их пересечения. Указать видимость элементов обоих треугольников на эпюре: А (0, 9, 2); ?(10, 1, 16); С (23, 14, 9); D (3, 17, 18); ?(22, 11, 17); ?(12,0, 2). Для нахождения линий пересечения треугольников рекомендуется сначала найти точку встречи прямой KD с треугольником АВС, а затем точку встречи прямой СВ с треугольником EDK.
Общий вид полученного эпюра приведен на рис. 74.
Второй путь решения - использование двух вспомогательных секущих плоскостей уровня.
Заданные пересекающиеся плоские фигуры следует дважды пересечь вспомогательными плоскостями уровня (одноименными либо разноименными - безразлично), например двумя горизонтальными плоскостями уровня.
Нетрудно понять, что одноразовое рассечение позволяет отыскать две пересекающиеся прямые h l и И 2 , дающие одну точку А, принадлежащую искомой линии пересечения (рис. 75). Проводя еще одну аналогичную вспомогательную плоскость на некотором расстоянии
Рис. 74
Рис. 75
от первой, получают аналогичное построение и еще одну точку. Соединяя одноименные проекции двух полученных точек, находят искомую линию пересечения двух плоскостей.
Упражнение 5.3
По заданным координатам точек двух треугольных фигур построить эпюр последних, на котором построить с использованием вспомогательных плоскостей линию пересечения треугольников. Указать видимость элементов обоих треугольников на эпюре:
к АВС. А (16, 5, 17); Я (10, 19,
A DEF: D (24, 12, 14); ? (4, 18,
Общий вид решенной задачи изображен на рис. 76.
Упражнение 5.4
Для закрепления навыков нахождения линии пересечения двух плоскостей приводится задача, решение которой дается в динамике построений в соответствии со ступенями алгоритма.
Найти линию пересечения двух плоскостей общего положе- р ис jq
ния, заданных двумя треугольниками АВС и DEF, и определить видимость их взаимопроникновения (рис. 77).
Решение примера сводится к отысканию точек пересечения сторонами (прямыми) ААВС с плоскостью общего положения, заданной ADEF. Алгоритм решения этого примера известен.
Заключаем сторону (прямую) АС ЬЛВС во вспомогательную фронтально проецирующую плоскость т _1_ П 2 (рис. 78).
Фронтальный след этой вспомогательной плоскости пересекает проекции сторон D 2 E 2 глЕ 2 - 1 2 и D 2 F 2 пт 2 = 2 2 в точках 1 2 и 2 2 . Проекционные линии связи позволяют на горизонтальной плоскости проекций определить линию пересечения (1 !~2 2) = n AD X E X F { . Тогда точка К 1 и ее проекция К 2 определяют точку пересечения прямой АС с ADEF.
Повторяем алгоритм нахождения точки пересечения стороны ААВС прямой ВС с ADEF. Заключаем ВС во вспомогательную фронтально проецирующую плоскость р _L П 2 (рис. 79).
Находим проекции точек 3 и 4 и на горизонтальной плоскости проекций определяем проекцию точки пересечения прямой В 1 С [
с линией пересечения (3,-4,):
Проекционная линия связи позволяет найти ее фронтальную проекцию точку М 2 .
Соединяем найденные точки Ки Ми находим линию пересечения двух плоскостей общего положения AABC n ADEF= АЖ (рис. 80).
Видимость сторон ААВС относительно ADEF определяется с помощью конкурирующих точек. Сначала определяем видимость геометрических фигур на плоскости проекций П 2 . Для этого через конкурирующие точки 5 и 6 (5 2 = 6 2) проводим проекционную линию связи, перпендикулярную оси проекций х п (рис. 81).
По горизонтальным проекциям 5 У и 6 { точек 5 и 6, в которых линия проекционной связи соответственно пересекает скрещивающиеся прямые АС 4 DF, выясняется, что точка 6 более удалена от плоскости проекций П 2 , чем точка 5. Поэтому точка 6 и прямая DF, которой она принадлежит, видимы относительно плоскости проекций П 2 . Отсюда следует, что отрезок (К 2 -6 2) будет невидимым. Аналогично определяем видимость сторон АЛВС и ADEF - ВС и DF, т.е. отрезок (Ж 2 -8 2) будет невидимым.
Видимость ААВС и ADEF относительно плоскости проекций П j, устанавливается аналогично. Для определения видимости скрещивающихся прямых АС * DF и ВС ±DF относительно плоскости проекций П] через конкурирующие точки 9 1 = 10 1 и11 1 = 12 1 проводим проекционные линии связи перпендикулярно х п. По фронтальным проекциям этих конкурирующих точек устанавливаем, что проекции точек 10 2 и 12 2 более удалены от плоскости проекций П { . Следовательно, отрезки (А^-ЮД и (М г 2 1) будут невидимыми. Отсюда видимость ААВС и ADEF наглядно представлена на рис. 82.
Прямая линия пересечения двух плоскостей определяется двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям, или одной точкой, принадлежащей двум плоскостям, и известным направлением линии. В обоих случаях задача заключается в нахождении точки, общей для двух плоскостей.
Общий прием построения линии пересечения двух плоскостей заключается в следующем. Вводят вспомогательную плоскость, строят линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными и в пересечении построенных линий находят общую точку двух плоскостей. Для нахождения второй общей точки построение повторяют с помощью еще одной вспомогательной плоскости.
На рисунке 4.5 показано наглядное изображение линии пересечения K1K2 двух плоскостей Р и Q.
Для наглядного изображения построения первой общей точки линии пересечения плоскостей Р и Q (рис. 4.6) введена вспомогательная плоскость S. С плоскостью Р она пересекается по линии 1-2, с плоскостью Q - по линии 3-4. В пересечении линий 1-2 и 3-4 определена первая общая точка К1 двух плоскостей Р и Q - первая точка линии их пересечения.
Аналогично вводят новую секущую плоскость и строят вторую точку линии пересечения.
Частный случай построения линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая. В этом случае построение линии пересечения упрощается тем, что одна ее проекция совпадает с проекцией проецирующей плоскости на ту плоскость проекций, к которой она перпендикулярна.
В качестве примера на рисунке 4.7 показано построение проекций т"п", тп линии пересечения MN фронтально-проецирующей плоскости Р с плоскостью треугольника ABC.
На фронтальной проекции в пересечении проекций а"b" и а"с" со следом P v находим фронтальные проекции т" и п" двух общих точек заданных плоскостей. По ним построены горизонтальные проекции т и п на горизонтальных проекциях ab и ас сторон треугольника. Через точки т и п проводим горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей. При взгляде по стрелке S по фронтальной проекции очевидно, что часть треугольника левее линии пересечения MN (т"п") находится над плоскостью Р, т. е. видима, остальная часть - под плоскостью Р, т. е. невидима (участок mbcn показан штриховой линией).
Другой пример построения линии пересечения двух треугольных пластин ABC и DEF, одна из которых (DEF) задана как горизонтально-проецирующая плоскость, приведен на
рисунке 4.8. На горизонтальной проекции в пересечении горизонтальных проекций ab и b с сторон треугольника АВС с проекцией dfe второго треугольника находим горизонтальные проекции т и п точек их пересечения. По ним на фронтальных проекциях сторон а"b" и b "с" строим фронтальные проекции т" и п" точек линии пересечения MN. На фронтальной проекции отмечаем видимость частей треугольников, руководствуясь следующим: при взгляде по стрелке S по горизонтальной проекции очевидно, что сторона АС находится перед плоскостью треугольника DEF.
Следовательно, сторона АС и ограничиваемая ею часть треугольника ABC до линии пересечения MN видимы (т. е. видима фронтальная проекция четырехугольника а"с"п"т"). Видимая часть фронтальной проекции треугольника DEF на чертеже оттенена.
Построение линии пересечения плоскостей общего положения. На рисунке 4.9 приведено построение проекций т"п", тп линии пересечения двух плоскостей, одна из которых задана проекциями а"b", b"с’, ab, bс двух пересекающихся прямых, другая - проекциями d’e’, f"g", de, fg двух параллельных прямых.
В качестве вспомогательных плоскостей взяты две горизонтальные плоскости, заданные следами Rv и T v .
Плоскость R пересекает первую заданную плоскость по прямой 1-2, вторую - по прямой 3-4. По фронтальным проекциям 1", 2" и 3", 4" находим с помощью линий связи горизонтальные проекции 1, 2 и 3, 4 на горизонтальных проекциях аb, bс, de, fg прямых. Через них проводим горизонтальные проекции линий 1-2 и 3-4 линий пересечения. Отмечаем точку т - горизонтальную проекцию общей точки М трех плоскостей - двух заданных и вспомогательной R. По ней определяем фронтальную проекцию т" на фронтальном следе R v вспомогательной плоскости.
Вспомогательные плоскости Т и R параллельны. Линии их пересечения с заданными плоскостями также параллельны. Поэтому горизонтальные проекции линий пересечения плоскости Т с заданными плоскостями проведены через проекцию ь параллельно проекции 1-2 и через проекцию 5 параллельно проекции 3-4. В их пересечении найдена горизонтальная проекция п второй общей точки трех плоскостей, т. е. линии пересечения двух заданных плоскостей. По ней на фронтальном следе T v вспомогательной плоскости построена фронтальная проекция п". Через построенные проекции т", п" и т, п проводим фронтальную и горизонтальную проекции искомой линии пересечения MN.
