Перпендикулярность в пространстве могут иметь:
1. Две прямые
3. Две плоскости
Давай по очереди рассмотрим эти три случая: все относящиеся к ним определения и формулировки теорем. А потом обсудим очень важную теорему о трёх перпендикулярах.
Перпендикулярность двух прямых.
Определение:
Ты можешь сказать: тоже мне, открыли Америку! Но вспомни, что в пространстве всё не совсем так, как на плоскости.
На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):
А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:
прямая перпендикулярна прямой, хотя и не пересекается с нею. Как так? Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми и, нужно через произвольную точку на прямой a провести прямую. И тогда угол между и (по определению!) будет равен углу между и.
Вспомнили? Ну вот, а в нашем случае - если окажутся перпендикулярны прямые и, то нужно считать перпендикулярными прямые и.
Для полной ясности давай рассмотрим пример. Пусть есть куб. И тебя просят найти угол между прямыми и. Эти прямые не пересекаются - они скрещиваются. Чтобы найти угол между и, проведём.
Из-за того, что - параллелограмм (и даже прямоугольник!), получается, что. А из-за того, что - квадрат, выходит, что. Ну, и значит.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Определение:
Вот картинка:
прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем-всем прямым в этой плоскости: и, и, и, и даже! И ещё миллиарду других прямых!
Да, но как же тогда вообще можно проверить перпендикулярность в прямой и плоскости? Так и жизни не хватит! Но на наше счастье математики избавили нас от кошмара бесконечности, придумав признак перпендикулярности прямой и плоскости .
Формулируем:
Оцени, как здорово:
если найдутся всего лишь две прямые (и) в плоскости, которым перпендикулярна прямая, то эта прямая сразу окажется перпендикулярна плоскости, то есть всем прямым в этой плоскости (в том числе и какой-то стоящей сбоку прямой). Это очень важная теорема, поэтому нарисуем её смысл ещё и в виде схемы.
И опять рассмотрим пример .
Пусть нам дан правильный тетраэдр.
Задача: доказать, что. Ты скажешь: это же две прямые! При чём же здесь перпендикулярность прямой и плоскости?!
А вот смотри:
давай отметим середину ребра и проведём и. Это медианы в и. Треугольники - правильные и.
Вот оно, чудо: получается, что, так как и. И далее, всем прямым в плоскости, а значит, и. Доказали. И самым главным моментом оказалось именно применение признака перпендикулярности прямой и плоскости.
Когда плоскости перпендикулярны
Определение:
То есть (подробнее смотри в теме «двугранный угол») две плоскости (и) перпендикулярны, если окажется, что угол между двумя перпендикулярами (и) к линии пересечения этих плоскостей равен. И есть теорема, которая связывает понятие перпендикулярных плоскостей с понятием перпендикулярность в пространстве прямой и плоскости.
Теорема эта называется
Критерий перпендикулярности плоскостей.
Давай сформулируем:
Как всегда, расшифровка слов «тогда и только тогда» выглядит так:
- Если, то проходит через перпендикуляр к.
- Если проходит через перпендикуляр к, то.
(естественно, здесь и - плоскости).
Эта теорема - одна из самых важных в стереометрии, но, к сожалению, и одна из самых непростых в применении.
Так что нужно быть очень внимательным!
Итак, формулировка:
И снова расшифровка слов «тогда и только тогда». Теорема утверждает сразу две вещи (смотри на картинку):
давай попробуем применить эту теорему для решения задачи.
Задача : дана правильная шестиугольная пирамида. Найти угол между прямыми и.
Решение:
Из-за того, что в правильной пирамиде вершина при проекции попадает в центр основания, оказывается, что прямая - проекция прямой.
Но мы знаем, что в правильном шестиугольнике. Применяем теорему о трёх перпендикулярах:
И пишем ответ: .
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Перпендикулярность двух прямых.
Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.
Перпендикулярность плоскостей.
Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен.
Критерий перпендикулярности плоскостей.
Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.
Теорема о трех перпендикулярах:
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
13.11.2016 14:35
Тестовые задания по геометрии к разделу "Прямые и плоскости в пространстве"1.Аксиомы стереометрии. 2.Параллельность прямых и плоскостей. 3.Перпендикулярность прямых и плоскостей. Ответы в конце разработки
Просмотр содержимого документа
«Тестовые задания по геометрии к разделу "Прямые и плоскости в пространстве" 1 курс СПО»
| Раздел № 3. Прямые и плоскости в пространстве |
| Предмет стереометрии. Основные понятия и аксиомы стереометрии. Пространственные фигуры. |
| Параллельность прямыхв пространстве. Параллельность двух плоскостей. |
| Векторы в пространстве. Параллельный перенос. |
| Сечение многогранников. |
| Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости. |
| Перпендикуляр и наклонная. |
| Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей. |
Аксиомы стереометрии
Вариант 1
| 1) АВС 2) DBC 3) DAB 4) DAC |
|
| Каким плоскост 1) АВС и ABD |
|
| Выберите верные высказывания: 1) Любые три точки лежат в одной плоскости. 2) Если центр окружности и ее точка лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости. 3) Через три точки, лежащих на прямой, проходит только одна плоскость. 4) Через две пересекающихся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Ответ: ______ |
|
| Выберите неверные высказывания: 1) Если три прямые имеют общую точку, то они лежат в одной плоскости. 3) Две плоскости могут имеет только две общие точки. 4) Три попарно пересекающиеся в разных точках прямые, лежат в одной плоскости. Ответ: ______ |
|
| Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости A 1 BC и A 1 AD. 1) DC 2) A 1 D 1 3) D 1 D 4) D 1 C |
|
| Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости DCC 1 и A 1 AD. 1) DC 2) A 1 D 1 3) D 1 D 4) D 1 C |
|
| Прямые АВ и CD пересекаются. Через прямую АВ проведена плоскость. Назовите линию пересечения данной плоскости с плоскостью ВСD. 1) АС 2) АB 3) BС 4) ВD |
|
| Прямые АВ и CD пересекаются. Через точки В и D проведена плоскость. Назовите линию пересечения данной плоскости с плоскостью AСD. 1) АС 2) АB 3) BС 4) ВD |
|
ям принадлежит точка К?
Вариант 2
| Точка Р лежит на прямой МN. Назовите плоскость, которой принадлежит точка Р. 1) АВС 2) DBC 3) DAB 4) DAC |
|
|
1) АВС и ACD |
|
| Выберите верные высказывания: 1) Любые четыре точки лежат в одной плоскости. 2) Через прямую и не лежащую на ней точку проходит только одна плоскость. 3) Если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости. 4) Две плоскости могут иметь только одну общую точку. Ответ: ______ |
|
| Выберите неверные высказывания: 1) Две окружности, имеющие общий центр, лежат в одной плоскости. 3) Три вершины треугольника принадлежат одной плоскости. 4) Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна. Ответ: ______ |
|
| Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости DCC 1 и A 1 BC. 1) DC 2) A 1 D 1 3) D 1 D 4) D 1 C |
|
| Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости ABC и C 1 CB. 1) BC 2) B 1 C 1 3) A 1 B 4) B 1 B |
|
| Прямые АВ и CD пересекаются. Через прямую CD проведена плоскость. Назовите линию пересечения данной плоскости с плоскостью AВС. 1) СD 2) АD 3) BС 4) ВD |
|
| Прямые АВ и CD пересекаются. Через точки A и D проведена плоскость. Назовите линию пересечения данной плоскости с плоскостью BСD. 1) АС 2) АD 3) BС 4) ВD |
|
Каким плоскостям принадлежит точка F?Вариант 1
| Точки М, Р, К – середины ребер DA, DB, DC тетраэдра DABC. 1) МР 2) РК 3) МК 4) МК и РК |
|
| АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольный параллелепипед. Какая из прямых параллельна плоскости A 1 B 1 C 1 1) а 2) b 3) p 4) m |
|
| В тетраэдре DАВС ВК = КС, DP = PC. Плоскости какой грани параллельна прямая РК? 1) DAB 2) DBC 3) DAC 4) ABC |
|
| Выберите верные высказывания: 1) Две прямые в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются. 2) Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая либо так же ей параллельна, либо лежит в этой плоскости. 3) Существует такая прямая, которая лежит в плоскости и параллельна прямой, пересекающей данную плоскость. 4) Скрещивающиеся прямые не имеют общих точек. Ответ: ______ |
|
|
1) a || n 2) a || b 3) b || c 4) a || c |
|
| верные
высказывания: 1) Прямые СD и MN скрещивающиеся. 2) Прямые АВ и MN лежат в одной плоскости. 3) Прямые СD и MN пересекаются. 4) Прямые АВ и СD скрещивающиеся. Ответ: ______ |
|
| 1) a и b – пересекающиеся прямые 2) a и b – параллельные прямые 3) a и b – скрещивающиеся прямые |
|
|
1) a и b – пересекающиеся прямые 2) a и b – параллельные прямые 3) a и b – скрещивающиеся прямые |
|
| Треугольники АВК и АВF расположены так, что прямые АВ и FK скрещиваются. Как расположены прямые АК и ВF? |
|
| В тетраэдре DАВС АВ = ВС = АС = 20; DA = DB = DC = 40. Через середину ребра АС плоскость, параллельная АD и ВC. Найдите периметр сечения. Ответ: ____ |
Назовите прямую, параллельную плоскости FBC.
?
Определите взаимное расположение прямых.Параллельность прямых и плоскостей
Вариант 2
| Точки М, Р, К – середины ребер DA, DB, DC тетраэдра DABC. Назовите прямую, параллельную плоскости FАB. 1) МР 2) РК 3) МК 4) МК и РК |
|
|
АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольный параллелепипед. Какая из прямых параллельна плоскости A 1 AD? 1) а 2) b 3) p 4) m |
|
|
1) DAB 2) DBC 3) DAC 4) ABC |
|
| Выберите верные высказывания: 1) Параллельные прямые не имеют общих точек. 2) Если прямая параллельна данной плоскости, то она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. 3) Если прямая параллельна линии пересечения двух плоскостей и не принадлежит ни одной из них, то она параллельна каждой из этих плоскостей. 4) Существует параллелепипед, у которого все углы граней острые. Ответ: ______ |
|
| Точки А, В, С и D – середины ребер прямоугольного параллелепипеда. Назовите параллельные прямые.
1) a || n 2) a || b 3) b || c 4) a || c |
|
| Точки А и D – середины ребер параллелепипеда. Выберите верные
высказывания: 1) Прямые СD и MN пересекаются. 2) Прямые АВ и MN скрещивающиеся 3) Прямые АВ и СD параллельные. 4) Прямые АВ и MN пересекаются Ответ: ______ |
|
|
Определите взаимное расположение прямых. 1) a и b – пересекающиеся прямые 2) a и b – параллельные прямые 3) a и b – скрещивающиеся прямые |
|
| Точки А и В – середины ребер параллелепипеда. Определите взаимное расположение прямых. 1) a и b – пересекающиеся прямые 2) a и b – параллельные прямые 3) a и b – скрещивающиеся прямые |
|
| Два равнобедренных треугольника АВС и АВD с общим основанием АВ расположены так, что точка С не лежит в плоскости АВD. Определите взаимное расположение прямых, содержащих медианы треугольников, проведенных к сторонам ВС и ВD. 1) они параллельны 2) скрещиваются 3) пересекаются |
|
| В тетраэдре DАВС АВ = ВС = АС = 10; DA = DB = DC = 20. Через середину ребра ВС плоскость, параллельная АС и ВD. Найдите периметр сечения. Ответ: ____ |
В тетраэдре DАВС AM = MD, AN = NB. Плоскости какой грани параллельна прямая MN?
Вариант 1
| Через сторону АВ треугольника АВС проведена плоскость, перпендикулярная к стороне ВС. Определите вид треугольника относительно углов. |
|
| Треугольник АВС – правильный, О – центр треугольника. Расстояние от точки М до вершины А равно 3. Найдите высоту треугольника. Ответ: ____ |
|
| АВСD – параллелограмм; Найдите периметр параллелограмма. 1) 20 2) 25 3) 40 4) 60 |
|
| Через вершину А треугольника ABC проведена плоскость α, параллельная ВС. Расстояние от ВС до плоскости α равно 12. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника АВС до этой плоскости. 1) 8 2) 6 3) 12 4) 18 |
|
| Высота ромба равна 12. Точка М равноудалена от всех сторон ромба и находится на расстоянии, равном 8, от его плоскости. Чему равно расстояние точки М до сторон ромба? Ответ: ____ |
|
| Выберите верные высказывания: 2) Две прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны. 3) Длина перпендикуляра меньше длины наклонной, проведенной из той же точки. 4) Две скрещивающиеся прямые могут быть перпендикулярными к одной плоскости. Ответ: ______ |
|
| Отрезок АВ упирается концами А и В в грани прямого двугранного угла. Расстояния от точек А и В до ребра равны 1, а длина отрезка АВ равна 3. Найдите длину проекции этого отрезка на ребро. |
|
| В тетраэдре DABC АО пресекает ВС в точке Е; Найдите. |
|
| Прямоугольник ABCD и параллелограмм ВЕМС расположены так, что их плоскости взаимно перпендикулярны. Найдите угол MCD. |
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Вариант 2
| Через сторону АD параллелограмма АВСD, проведена плоскость, перпендикулярная к стороне DС. Определите вид треугольника АВС. 1) остроугольный 2) прямоугольный 3) тупоугольный |
|
| Треугольник АВС – правильный, О – центр треугольника. Высота треугольника равна 3. Найдите расстояние от точки М до вершин треугольника. Ответ: ____ |
|
| АВСD – параллелограмм; Найдите BD. 1) 20 2) 15 3) 40 4) 10 |
|
| Через вершину А треугольника ABC проведена плоскость α, параллельная ВС. Расстояние от точки пересечения медиан треугольника АВС до этой плоскости равно 4. На каком расстоянии от плоскости находится ВС? 1) 8 2) 6 3) 12 4) 14 |
|
| Точка Р удалена от всех сторон ромба на расстояние» равное, и находится от его плоскости на расстоянии равном 2. Чему равна сторона ромба, если его угол 30°? Ответ: ____ |
|
| На рисунке Найдите угол между МС и плоскостью АМВ. 1) 30 0 2) 60 0 3) 90 0 4) 45 0 |
|
| Выберите верные высказывания: 1) Угол между прямой и плоскостью может быть не больше 90 0 . 2) Две плоскости, перпендикулярные к одной прямой, пересекаются. 3) Длина перпендикуляра больше длины наклонной, проведенной из той же точки. 4) Диагональ прямоугольного параллелепипеда больше любого из ребер. Ответ: ______ |
|
| Отрезок АВ упирается концами А и В в грани прямого двугранного угла. Расстояния от точек А и В до ребра равны 2, а длина отрезка АВ равна 4. Найдите длину проекции этого отрезка на ребро. |
|
| В тетраэдре DABC основание ABC - правильный треугольник. Вершина D проецируется в его центр О. Найдите угол между плоскостью ADO и гранью DCB. 1) 30 0 2) 60 0 3) 90 0 4) 45 0 |
|
| Треугольник АМВ и прямоугольник ABCD расположены так, что их плоскости взаимно перпендикулярны. Найдите угол MAD. 1) 90 0 2) 60 0 3) 30 0 4) 45 0 |
Тест 1
| Вариант 1 | ||||||||||
| Вариант 2 |
Тест 2
| Вариант 1 | ||||||||||
| Вариант 2 |
Тест 3
| Вариант 1 | ||||||||||
| Вариант 2 |
1. Найдите угол между пересекающимися диагоналями граней куба.
2. В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AD 1 и CB 1 .
3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, основанием которого является квадрат, в два раза больше стороны основания. Найдите углы между диагоналями параллелепипеда, которые лежат в одном диагональном сечении.
1) 45 0 и 45 0 .
2) 90 0 и 90 0 .
3) 30 0 и 60 0 .
4) 60 0 и 120 0 .
4. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, основанием которого является квадрат, в два раза больше стороны основания. Найдите углы между диагоналями параллелепипеда, которые лежат в разных диагональных сечениях.
1) 45 0 и 135 0 .
2) 90 0 и 90 0 .
3) 30 0 и 150 0 .
4) 60 0 и 120 0 .
5. Найдите угол между скрещивающимися ребрами правильной треугольной пирамиды.
6. Из точки, не принадлежащей плоскости опущен на нее перпендикуляр и проведена наклонная. Найдите проекцию наклонной, если перпендикуляр равен 12 см, а наклонная 15 см.
7. Найдите геометрическое место прямых, перпендикулярных данной прямой и проходящих через данную на ней точку.
2) Плоскость, перпендикулярная данной прямой.
3) Плоскость, параллельная данной прямой.
4) Плоскость, перпендикулярная данной прямой и проходящая через данную точку.
8. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек.
1) Перпендикуляр, проведенный к середине отрезка, соединяющего данные точки.
3) Плоскость, перпендикулярная прямой, проходящей через данные точки.
4) Плоскость, перпендикулярная отрезку, соединяющему данные точки и проходящая через его середину.
9. Из данной точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Зная, что их разность равна 25 см, а расстояние между их серединами 32,5 см, найдите наклонную.
10. Концы отрезка находятся от данной плоскости на расстоянии 26 см и 37 см. Его ортогональная проекция на плоскость равна 6 дм. Найдите отрезок.
11. Один из катетов прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости, а другой наклонен к ней под углом 45 0 . Найдите угол между гипотенузой этого треугольника и данной плоскостью.
12. Найдите угол наклона отрезка к плоскости, если его ортогональная проекция на эту плоскость в два раза меньше самого отрезка.
13. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от всех точек окружности.
1) Центр окружности.
2) Окружность.
3) Плоскость, перпендикулярная плоскости окружности и проходящая через ее центр.
14. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от всех сторон ромба.
1) Перпендикуляр, проведенный к плоскости ромба и проходящий через его вершину.
2) Плоскость, перпендикулярная к плоскости ромба и проходящая через его диагональ.
3) Перпендикуляр, проведенный к плоскости ромба и проходящий через точку пересечения его диагоналей.
4) Окружность, вписанная в ромб.
15. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона ее основания равна a , боковое ребро b .
3) 
.
16. Найдите двугранный угол j между боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1.
17. Точка A находится от одной из двух перпендикулярных плоскостей на расстоянии 4 см, а от другой на 16 см. Найдите расстояние от точки A до линии пересечения плоскостей.
18. Найдите двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна 2 см, а сторона основания 4 см.
19. Точка B , удаленная от ребра двугранного угла на расстояние a , отстоит от каждой его грани на одинаковое расстояние. Найдите это расстояние, если двугранный угол равен j.
1) a sinj.
2) a cosj.
3) a sin .
4) a cos .
20. Точка E принадлежит плоскости a, точка F принадлежит плоскости b. Плоскости перпендикулярны. Ортогональные проекции отрезка EF , равного 10 см, на плоскости a и b соответственно равны 8 см и 7,5 см. Найдите проекцию отрезка EF на линию пересечения плоскостей a и a.
ОТВЕТЫ
| Номер задания | Номер теста | |||||||
| 4) | 3) | 3) | 4) | 4) | 2) | 1) | ||
| 4) | 3) | 4) | 3) | 3) | 1) | 2) | ||
| 2) | 4) | 2) | 3) | 4) | 1) | 4) | ||
| 4) | 1) | 4) | 3) | 2) | 3) | 3) | ||
| 2) | 1) | 4) | 3) | 3) | 4) | 3) | ||
| 2) | 2) | 2) | 2) | 3) | 4) | 3) | ||
| 4) | 3) | 4) | 2) | 1) | 4) | 4) | ||
| 4) | 2) | 4) | 2) | 2) | 3) | 2) | ||
| 3) | 3) | 3) | 1) | 4) | 3) | 3) | ||
| 1) | 4) | 1) | 4) | 3) | 3) | 4) | ||
| 3) | 1) | 2) | 2) | 2) | 3) | 3) | ||
| 2) | 2) | 3) | 3) | 1) | 2) | 1) | ||
| 2) | 3) | 4) | 4) | 4) | 4) | 3) | ||
| 4) | 4) | 3) | 3) | 2) | 3) | 4) | ||
| 3) | 4) | 3) | 2) | 1) | 2) | 4) | ||
| 3) | 2) | 2) | 2) | 4) | 3) | 3) | ||
| 3) | 4) | 4) | 2) | 2) | 2) | 4) | ||
| 4) | 3) | 2) | 4) | 3) | 2) | 2) | ||
| 2) | 4) | 3) | 1) | 3) | 2) | 2) | ||
| 1) | 2) | 1) | 4) | 2) | 3) | 4) | ||
«Перпендикулярные прямые в пространстве.
Перпендикулярность прямой и плоскости»
Вариант 1
Уровень А
1. Какое утверждение верно?
1) Если одна из двух прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
2) Если две прямые перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.
3) Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
2. ABCD – прямоугольник, BM ┴ (ABC ) . Тогда неверно, что…
1) BM ┴ AC ;
2) AM ┴ AD ;
3) MD ┴ DC .
3. Прямая m перпендикулярна к прямым a и b , лежащим в плоскости α, но m не перпендикулярна к плоскости α. Тогда прямые a и b …
1) параллельны;
2) пересекаются;
3) скрещиваются.
4. Плоскость α проходит через вершину А ромба ABCD перпендикулярно диагонали АС. Тогда диагональ BD …
1) перпендикулярна плоскости α;
2) параллельна плоскости α;
3) лежит в плоскости α.
5. a ║ α , b ┴ α. Тогда прямые a и b не могут быть …
1) скрещивающимися;
2) перпендикулярными;
3) 
параллельными.
6. ABCD – параллелограмм, BD α, AC ┴ α. Тогда ABCD не может быть …
1) прямоугольником;
2) квадратом;
3) ромбом.
1) радиусам; 2) диаметрам; 3) хордам.
8. Какое утверждение верно:
1) Прямая и не проходящая через неё плоскость, перпендикулярные другой плоскости, параллельны между собой.
2) Плоскость и перпендикулярная данной плоскости, перпендикулярна и к прямой, параллельной данной плоскости.
3) 
Плоскость, перпендикулярная данной прямой, перпендикулярна и к плоскости, параллельной данной прямой.
9. AC ┴ (BDM ) . Тогда отрезок BM в треугольнике АВС является …
1) медианой;
2) высотой;
3) биссектрисой.
Вариант 1
https://pandia.ru/text/78/082/images/image006_123.gif" width="17" height="16">(а, ВМ ) = …
https://pandia.ru/text/78/082/images/image003_184.gif" width="13" height="13 src="> α , СМ = МВ, АМ = 2,5 см, АС = 3 см. Тогда АВ = …
https://pandia.ru/text/78/082/images/image009_91.gif" width="25" height="23 src=">см. АС BD = О . FO ┴ (ABC ), FO = см. Расстояние от точки F до вершины квадрата равно …
https://pandia.ru/text/78/082/images/image013_21.jpg" align="left" width="120" height="102 src=">
5. ABCD – прямоугольник. BF ┴ (ABC ). CF = 20 см, DF = 25 см. Тогда длина отрезка CD равна …
https://pandia.ru/text/78/082/images/image015_17.jpg" align="left" width="103" height="99">лежит в плоскости α .
5. ABCD - параллелограмм, АВhttps://pandia.ru/text/78/082/images/image016_17.jpg" align="left" width="114" height="113">скрещивающимися.
7. Dhttps://pandia.ru/text/78/082/images/image006_123.gif" width="17" height="16 src="> (АВ, CD) =600.
8. Какое утверждение неверное?
1) Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
2) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно построить только одну плоскость, перпендикулярную данной прямой.
3) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно построить только одну прямую, перпендикулярную данной прямой.
